Question

19．已知几何体O-ABCD的底面ABCD是边长为$\sqrt{3}$的正的方形，且该几何体体积的最大值为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，则该几何体外接球的表面积为8π．

Answer 1

分析 利用几何体O-ABCD的底面ABCD是边长为$\sqrt{3}$的正方形，且该几何体体积的最大值为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，求出几何体O-ABCD的高的最大值，利用射影定理，求出该几何体外接球的半径，即可求出该几何体外接球的表面积．

解答 解：∵几何体O-ABCD的底面ABCD是边长为$\sqrt{3}$的正方形，且该几何体体积的最大值为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×h$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴几何体O-ABCD的高的最大值为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
设该几何体外接球的半径为R，
∵底面ABCD的外接圆的半径为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴由射影定理可得（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$•（2R-$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$），
∴R=$\sqrt{2}$，
∴该几何体外接球的表面积为4πR²=8π．
故答案为：8π．

点评 本题考查该几何体外接球的表面积，考查四棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．