Question

7．已知函数f（x）=ax-x²-lnx，若函数f（x）存在极值，且所有极值之和小于5+ln2，则实数a的取值范围是（2$\sqrt{2}$，4）．

Answer 1

分析 由f（x）存在极值，得到其导数值在（0，+∞）上有根，设出方程的根，由根与系数的关系，得到不等式解出即可．

解答 解：f（x）=-$\frac{{2x}^{2}-ax+1}{x}$，
∵f（x）存在极值，
∴f′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即方程2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根．
设方程2x²-ax+1=0的两根为x₁，x₂，
由韦达定理得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{•x}_{2}=\frac{1}{2}＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，
所以方程的根必为两不等正根．
f（x₁）+f（x₂）=a（x₁+x₂）-（x₁²+x₂²）-（lnx₁+lnx₂）
=$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1-ln$\frac{1}{2}$＜5-ln$\frac{1}{2}$，∴a²＜16，-4＜a＜4，
由△=a²-8＞0，解得：a＞2$\sqrt{2}$，
故所求a的取值范围为（2$\sqrt{2}$，4），
故答案为：（2$\sqrt{2}$，4）

点评 本题考察了函数的单调性，导数的应用，一元二次方程根与系数的关系，本题属于中档题．