Question

10．已知圆C：（x-a）²+（y-a-2）²=9，其中a为实常数．
（1）若直线l：x+y-4=0被圆C截得的弦长为2，求a的值；
（2）设点A（3，0），O为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用圆心到直线的距离公式，结合直线l：x+y-3=0被圆C截得的弦长为2，利用勾股定理，可求a的值；
（2）求出M在圆心为D（-1，0），半径为2的圆上，根据点M在圆C上，可得圆C与圆D有公共点，从而可得不等式，解不等式，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）由圆方程知，圆C的圆心为C（a，a+2），半径为3．（2分）
设圆心C到直线l的距离为d，因为直线l被圆C截得的弦长为2，则
d²+1=9，即d=2$\sqrt{2}$．（4分）
所以$\frac{|a+（a+2）-4|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$即|a-1|=2，所以a=-1或a=3．（6分）
（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得x²+y²+2x-3=0．
所以点M在圆D：（x+1）²+y²=4上．其圆心为D（-1，0），半径为2．（8分）
因为点M在圆C上，则圆C与圆D有公共点，即1≤|CD|≤5．（9分）
所以1≤$\sqrt{（a+1）^{2}+（a+2）^{2}}$≤5，解得-5≤a≤-2或-1≤a≤2．
故a的取值范围是[-5，-2]∪[-1，2]．（15分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．