Question

1．已知函数$f（x）=\sqrt{3}{cos^2}x+sinxcosx$．
（Ⅰ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求得f（x）的值域．
（Ⅱ）由f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$求得A的值，利用余弦定理求得bc的值，可得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bc•sinA 的值．

解答 解：（Ⅰ）由题得，函数$f（x）=\sqrt{3}{cos^2}x+sinxcosx$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
所以，f（x）的值域为[0，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
（Ⅱ）因为f（$\frac{A}{2}$）=sin（A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，∴sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴A+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$或$\frac{π}{3}$，∴A=$\frac{π}{3}$或0（舍去）
结合a=4，b+c=5，∴a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=25-3bc=16，∴bc=3，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$•3•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．