Question

13．是否存在常数a，b，c使得$1×{2^2}+2×{3^2}+…+n{（n+1）^2}=\frac{{n（n+1）（a{n^2}+bn+c）}}{12}$对一切n∈N^*均成立，并证明你的结论．

Answer 1

分析 通过n取1，2，3，l列出方程组，求出a，b，c然后利用数学归纳法的步骤证明即可．

解答 解：令n=1，2，3得：$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=24\\ 4a+2b+c=44\\ 9a+3b+c=70\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=11\\ c=10\end{array}\right.$，
∴$1×{2^2}+2×{3^2}+…+n{（n+1）^2}=\frac{{n（n+1）（3{n^2}+11n+10）}}{12}$…（6分）
下面利用数学归纳法加以证明：（1）验证当n=1时，由上面计算知等式成立；
（2）假设n=k（k≥1）时等式成立，即$1×{2^2}+2×{3^2}+…+k{（k+1）^2}=\frac{{k（k+1）（3{k^2}+11k+10）}}{12}$；  
 当n=k+1时有：$1×{2^2}+2×{3^2}+…+k{（k+1）^2}+（k+1）{（k+2）^2}=\frac{{k（k+1）（3{k^2}+11k+10）}}{12}+（k+1）{（k+2）^2}$=$\frac{{（k+1）[k（3{k^2}+11k+10）+12{{（k+2）}^2}]}}{12}=\frac{{（k+1）[3{k^2}（k+2）+17k（k+2）+24（k+2）]}}{12}$=$\frac{{（k+1）（k+2）[3{{（k+1）}^2}+11（k+1）+10]}}{12}$，
∴n=k+1时等式成立．
故由（1）（2）知存在常数a，b，c使得$1×{2^2}+2×{3^2}+…+n{（n+1）^2}=\frac{{n（n+1）（a{n^2}+bn+c）}}{12}$
对一切n∈N^*均成立．…（14分）

点评 本题考查数学归纳法的证明方法，数列的应用，考查转化思想以及计算能力．