Question

13．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=an²+bn，且a₁=1，a₂=3．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，数列{b_n}的前n项和T_n，求证：T_n≥2．

Answer 1

分析 （I）通过S_n=an²+bn及a₁=1、a₂=3求出a、b的值，进而利用当n≥2时a_n=S_n-S_n-1计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知b_n=$\frac{1}{2}$•4ⁿ，利用等比数列的求和公式计算、放缩即得结论．

解答 （I）解：∵S_n=an²+bn，且a₁=1，a₂=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=a+b}\\{1+3=4a+2b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴S_n=n²，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又∵a₁=1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（Ⅱ）证明：由（I）可知b_n=2^2n-1=$\frac{1}{2}$•4ⁿ，
∴T_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）≥$\frac{2}{3}$（4-1）=2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．