Question

16．已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点（1，1）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若斜率为2的直线l与抛物线C相切于点A，求直线l的方程和切点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）设出抛物线方程，代入点的坐标，可得抛物线C的方程；
（2）直线与抛物线方程联立，利用判别式为0，求出b，即可求直线l的方程和切点A的坐标．

解答 解：（1）由C的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，可设：C：y²=2px
∵y²=2px过点（1，1），∴1=2p，解得$p=\frac{1}{2}$…（4分）
∴抛物线C的方程为y²=x…（5分）
（2）∵直线l的斜率为2，∴设l：y=2x+b
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+b\\{y^2}=x\end{array}\right.$得2y²-y+b=0，…（7分）
∵l与C相切，∴△=（-1）²-8b=0，∴$b=\frac{1}{8}$…（8分）
把$b=\frac{1}{8}$代入y=2x+b得，$y=2x+\frac{1}{8}$，即l：16x-8y+1=0…（10分）
把$b=\frac{1}{8}$代入2y²-y+b=0得$y=\frac{1}{4}$，∴$x=\frac{1}{16}$，∴$A（{\frac{1}{16}，\frac{1}{4}}）$…（12分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．