题目内容
14．在△ABC中，BC=6，CA=8，AB=10，M是边AB上的动点（含A、B），若存在实数λ，μ使得$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CA}$+μ$\overrightarrow{CB}$，则|λ$\overrightarrow{CA}$-μ$\overrightarrow{CB}$|的最大值是（ ）| A． | 5 | B． | 6 | C． | 8 | D． | 10 |
分析 根据题意，建立平面直角坐标系，得出三角形斜边AB上的高h，即得h≤$\overrightarrow{CM}$≤AB，再计算|$\overrightarrow{CM}$|=|λ$\overrightarrow{CA}$-μ$\overrightarrow{CB}$|，从而求出|λ$\overrightarrow{CA}$-μ$\overrightarrow{CB}$|的最大值．
解答 解：建立平面直角坐标系，如图所示；
∵BC=6，CA=8，AB=10，62+82=102，
∴∠C=90°；
∴斜边AB上的高h=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{12}{5}$；
∵$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CA}$+μ$\overrightarrow{CB}$=λ（0，8）+μ（6，0）=（6μ，8λ），
∴|$\overrightarrow{CM}$|=$\sqrt{{36μ}^{2}+6{4λ}^{2}}$∈[$\frac{12}{5}$，8]；
∵λ$\overrightarrow{CA}$-μ$\overrightarrow{CB}$=λ（0，8）-μ（6，0）=（-6μ，8λ），
∴|λ$\overrightarrow{CA}$-μ$\overrightarrow{CB}$|=$\sqrt{3{6μ}^{2}+6{4λ}^{2}}$∈[$\frac{12}{5}$，8]；
∴|λ$\overrightarrow{CA}$-μ$\overrightarrow{CB}$|的最大值是8．
故选：C．
点评 本题考查了向量坐标运算、数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，是中档题．
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