Question

设p：函数y=（a-1）x+1在x∈（-∞，+∞）内单调递减；q：曲线y=x²+ax+1与x轴交于不同的两点．
（1）若p为真且q为真，求a的取值范围；
（2）若p与q中一个为真一个为假，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,命题的真假判断与应用

专题：阅读型,简易逻辑

分析：（1）利用一次函数的单调性及曲线交点的个数判定求得命题p、q为真时a的范围，再求交集可得答案；
（2）分别求出p真q假时和当p假q真时a的范围，再求并集可得答案．

解答： 解：（1）∵函数y=（a-1）x+1在x∈（-∞，+∞）内单调递减，∴a＜1，
∴命题p为真时，a＜1；
由曲线y=x²+ax+1与x轴交于不同的两点得：△=a²-4＞0⇒a＞2或a＜-2，
∴命题q为真时，a＞2或a＜-2，
p为真且q为真，a的取值范围是：a＜-2；
（2）当p真q假时，

a＜1 -2≤a≤2

⇒-2≤a＜1；
当p假q真时，

a≥1 a＞2或a＜-2

⇒a＞2，
∴p与q中一个为真一个为假时，a的取值范围为a＞2或-2≤a＜1．

点评：本题考查了复合命题的真假判定规律，考查了一次函数的单调性及曲线交点的个数判定，熟练掌握复合命题真值表是解题的关键．