Question

已知函数f（x）=

1

2

x-sinx，x∈R．
（1）试求函数f（x）的递减区间；
（2）试求函数f（x）在区间[-π，π]上的最值．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数f′（x），解不等式f′（x）＜0即可得到递减区间；
（2）由（1）根据函数的单调区间可求得极值，再与区间端点处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值；

解答： 解：（1）f′（x）=

1

2

-cosx，
令f′（x）＜0，得cosx＜

1

2

，
∴2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

，k∈Z，
∴函数f（x）的递减区间为（2kπ-

π

3

，2kπ+

π

3

），（k∈Z）；
（2）x∈[-π，π]时，由（1）知，x∈[-π，-

π

3

）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（-

π

3

，

π

3

）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（

π

3

，π]时，f′（x）＞0，f（x）递增，
∴f（x）在x=-

π

3

时取得极大值，在x=

π

3

时且仅当极小值，
f（-π）=-

π

2

，f（-

π

3

）=-

π

6

+

3

2

，f（

π

3

）=

π

6

-

3

2

，f（π）=

π

2

，
∵f（-

π

3

）＜f（π），f（-π）＜f（

π

3

），
∴函数f（x）的最大值为f（π）=

π

2

，最小值为f（-π）=-

π

2

．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，属基础题，正确理解导数与函数单调性的关系是解题关键．