Question

函数f（x）对x＞0有意义，当m，n∈（0，+∞）时，恒有f（mn）=f（m）+f（n）成立，并且f（2）=1，当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求证：f（1）=0；
（2）求f（4）的值；
（3）求证：f（x）在（0，+∞） 上为增函数；
（4）求满足f（x）+f（

x-3

x

）＜2的x的集合．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）令m=n=1，运用条件，即可得证；
（2）令m=n=2，由条件即可得到；
（3）令0＜s＜t，则

t

s

＞1，由x＞1时，f（x）＞0，则f（

t

s

）＞0，即有f（t）=f（s•

t

s

），运用条件即可得证；
（4）运用条件不等式即为f（x-3）＜f（4），由f（x）在（0，+∞） 上为增函数，即可得到不等式组，解出即可．

解答： （1）证明：令m=n=1，则f（1）=2f（1），即有f（1）=0；
（2）解：令m=n=2，则f（4）=2f（2），而f（2）=1，则f（4）=2；
（3）证明：令0＜s＜t，则

t

s

＞1，由x＞1时，f（x）＞0，
则f（

t

s

）＞0，即有f（t）=f（s•

t

s

）=f（s）+f（

t

s

）＞f（s），
则f（x）在（0，+∞） 上为增函数；
（4）解：f（x）+f（

x-3

x

）＜2
即为f（x•

x-3

x

）＜2=f（4），
即为f（x-3）＜f（4），
由f（x）在（0，+∞） 上为增函数，
则

x＞0 x-3＞0 x-3＜4

，解得，3＜x＜7．
则解集为（3，7）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查解决抽象函数值的常用方法：赋值法，考查函数的单调性的证明以及运用：解不等式，属于中档题．