Question

14．已知圆O₁和圆O₂都经过点A（0，1），若两圆与直线4x-3y+5=0及y+1=0均相切，则|O₁O₂|=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，可得两圆中一个圆的圆心在坐标原点，由已知列式求出另一圆心坐标，则答案可求．

解答 解：如图，∵原点O到直线4x-3y+5=0的距离d=$\frac{|5|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}=1$，到直线y=-1的距离为1，且到（0，1）的距离为1，
∴圆O₁和圆O₂的一个圆心为原点O，不妨看作是圆O₁，
设O₂（a，b），则由题意：
$\left\{\begin{array}{l}{b+1=\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}}\\{b+1=\frac{|4a-3b+5|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴$|{O}_{1}{O}_{2}|=\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．