Question

19．设函数$f（x）=\sqrt{lnx+x+m}$，若曲线$y=\frac{1-e}{2}cosx+\frac{1+e}{2}$上存在（x₀，y₀），使得f（f（y₀））=y₀成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [0，e²-e+1]
• B． [0，e²+e-1]
• C． [0，e²+e+1]
• D． [0，e²-e-1]

Answer 1

分析 求出y₀的范围，证明f（y₀）=y₀，得出f（x）=x在[1，e]上有解，再分离参数，利用函数单调性求出m的范围．

解答 解：∵-1≤cosx≤1，∴$\frac{1-e}{2}cosx+\frac{1+e}{2}$的最大值为e，最小值为1，∴1≤y₀≤e，
显然f（x）=$\sqrt{lnx+x+m}$是增函数，
（1）若f（y₀）＞y₀，则f（f（y₀））＞f（y₀）＞y₀，与f（f（y₀））=y₀矛盾；
（2）若f（y₀）＜y₀，则f（f（y₀））＜f（y₀）＜y₀，与f（f（y₀））=y₀矛盾；
∴f（y₀）=y₀，
∴y₀为方程f（x）=x的解，即方程f（x）=x在[1，e]上有解，
由f（x）=x得m=x²-x-lnx，
令g（x）=x²-x-lnx，x∈[1，e]，
则g′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
∴当x∈[1，e]时，g′（x）≥0，
∴g（x）在[1，e]上单调递增，
∴g_min（x）=g（1）=0，g_max（x）=g（e）=e²-e-1，
∴0≤m≤e²-e-1．
故选D．

点评 本题考查了函数零点与函数单调性的关系，函数单调性的判断与最值计算，属于中档题．