Question

6．已知函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与x轴切于点（3，0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）+f（x）=-6x²+（3c+9）x，命题p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|＞1为假命题，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义可得关于a，b的方程，解得即可，
（2）命题p为假命题等价于p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1为真命题，即g（x）=-x³+3cx，可得|g（1）-g（-1）|≤1，再根据g（x）的单调性可得|g（$\sqrt{c}$）-g（-$\sqrt{c}$）|≤1，解得即可

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与x轴切于点（3，0）．
∴f′（3）=0，f（3）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9+3a+b=0}\\{27+6a+b=0}\end{array}\right.$，解得a=-5，b=9，
∴f（x）=x³-5x²+9x，
经检验函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与x轴切于点（3，0）．
（2）命题p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|＞1为假命题等价于p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1为真命题，
∵g（x）+f（x）=-6x²+（3c+9）x，
∴g（x）=-x³+3cx，
∵?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1，
∴|g（1）-g（-1）|≤1，
即|6c-2|≤1，解得$\frac{1}{6}$≤c≤$\frac{1}{2}$，
又∵g′（x）=-3x²+3c，
∴g（x）在[-1，-$\sqrt{c}$]，[$\sqrt{c}$，1]内为减函数，在[-$\sqrt{c}$，$\sqrt{c}$]内为增函数，
∵g（x）是奇函数，且|g（1）-g（-1）|≤1，
∴只需要|g（$\sqrt{c}$）-g（-$\sqrt{c}$）|≤1，
则4c$\sqrt{c}$≤1，
∴c≤$\frac{\root{3}{4}}{4}$
综上所述c的取值范围为[$\frac{1}{6}$，$\frac{\root{3}{4}}{4}$]

点评 本题考查了导数和几何意义以及导数和函数的单调性的关系以及四种命题的关系，考查了学生的转化能力和运算能力，属于难题