题目内容

倾斜角为 $数学公式$ 的直线交椭圆 $数学公式$ 于A，B两点，则线段AB中点的轨迹方程是________．

$\text{[math]}$
分析：设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题设条件知y₁-y₂=x₁-x₂．由中点坐标公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y所以直线方程为x+4y=0，由此可知点M的轨迹方程为x+4y=0（-455＜x＜455）．
解答：设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有 $\text{[math]}$ ，①
$\text{[math]}$ ，②
①-②得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．③
又直线AB的斜率k=tan $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴y₁-y₂=x₁-x₂．④
由中点坐标公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．⑤
把④⑤代入到③中得x=-4y，
∴直线方程为x+4y=0，
由 $\text{[math]}$ ，x+4y=0，
得x₁=-455，x₂=455．
∴点M的轨迹方程为x+4y=0（-455＜x＜455）．
答案：x+4y=0（-455＜x＜455）
点评：本题考查轨迹的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)，其相应于焦点F（2，0）的准线方程为x=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点F₁（-2，0）倾斜角为θ的直线交椭圆C于A，B两点．
求证：|AB|=

；
（Ⅲ）过点F₁（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求|AB|+|DE|的最小值．

=1（a＞b＞0）的离心率为

，长轴长为6

，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证|AB|=

；
（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

=1（a＞b＞0）的离心率为

，长轴长为6

，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（2）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

（）（本小题满分14分）

设椭圆其相应于焦点的准线方程为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：

;

（Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求的最小值

已知是椭圆的左、右焦点，过点作
倾斜角为的直线交椭圆于两点，．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，求椭圆的标准方程．