题目内容

设椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，长轴长为6
2
，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（2）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．
分析：（Ⅰ）根据题意列出关于a，b，c的方程组；
2a=6
2
c
a
=
2
2
b2=a2-c2
解之即得a，b，从而写出所求椭圆M的方程；
（Ⅱ）当θ≠
π
2
，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F （ 3，0 ），则直线AB的方程为y=k （ x-3 ），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|AB|+|CD|的最小值，从而解决问题．
解答：解：（Ⅰ）
2a=6
2
c
a
=
2
2
b2=a2-c2
?
a=3
2
c=3
b=3
所求椭圆M的方程为
x2
18
+
y2
9
=1…（3分）
（Ⅱ）当θ≠
π
2
，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F （ 3，0 ），则直线AB的方程为y=k （ x-3 ）有
y=kx-3k
x2
18
+
y2
9
=1
?（ 1+2k2 ）x2-12k2x+18（ k2-1 ）=0
设点A （ x1，y1 ），B （ x2，y2 ）有x1+x2=
12k2
1+2k2
，x1x2=
18(k2-1)
1+2k2

|AB|=
(1+k2)[(
12k2
1+2k2
)2-4×
18(k2-1)
1+2k2
]
=
6
2
(1+k2)
1+2k2

又因为k=tanθ=
sinθ
cosθ
代入**式得|AB|=
6
2
cos2θ+sin2θ
=
6
2
1-sin2θ+2sin2θ
=
6
2
1+sin2θ

当θ=
π
2
时，直线AB的方程为x=3，此时|AB|=3
2

而当θ=
π
2
时，|AB|=
6
2
1+sin2θ
=3
2

∴|AB|=
6
2
1+sin2θ

同理可得|CD|=
6
2
(1+k2)
2+k2
=
6
2
1+cos2θ

有|AB|+|CD|=
6
2
1+sin2θ
+
6
2
1+cos2θ
=
18
2
2+
1
4
sin2θ

因为sin2θ∈[0，1]，所以 当且仅当sin2θ=1时，|AB|+|CD|有最小值是8
2
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．
练习册系列答案
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设椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，长轴长为6
2
，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证|AB|=
6
2
1+sin2θ
；
（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．
设椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，长轴长为6
2
，设过右焦点F．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭M于A，B两点，求证|AB|=
6
2
1+sin2θ
．
（2012•包头一模）设椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，点A（a，0），B（0，-b），原点O到直线AB的距离为
2
3
3
．
（I）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设点C为（-a，0），点P在椭圆M上（与A、C均不重合），点E在直线PC上，若直线PA的方程为y=kx-4，且
CP
•
BE
=0，试求直线BE的方程．
（2012•甘肃一模）设椭圆M：
x2
a2
+
y2
2
=1(a＞
2
)的右焦点为F1，直线l：x=
a2
a2-2
与x轴交于点A，若
OF1
+2
AF1
=0（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+（y-2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求
PE
•
PF
的最大值．
设椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右顶点和上顶点分别为A，B，直线AB与直线y=-x相交于点P，若点P在抛物线y2=-ax上，则椭圆M的离心率等于
3
2
3
2
．

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