题目内容
设椭圆M：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证|AB|=
6
| ||
| 1+sin2θ |
（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．
分析：（Ⅰ）由椭圆的性质求解．
（Ⅱ）将直线和椭圆方程联立，用韦达定理，再用弦长公式求解．
（III）用（II）的方法表示出|CD|，再有|AB|+|CD|=
+
=
，再用三角函数求得最值．
（Ⅱ）将直线和椭圆方程联立，用韦达定理，再用弦长公式求解．
（III）用（II）的方法表示出|CD|，再有|AB|+|CD|=
6
| ||
| 1+sin2θ |
6
| ||
| 1+cos2θ |
18
| ||
2+
|
解答：解：（Ⅰ）根据题意可得：
?
所求椭圆M的方程为
+
=1（4分）
（Ⅱ）当θ≠
，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F（3，0），
则直线AB的方程为y=k（x-3）
有
?（1+2k2）x2-12k2x+18（k2-1）=0
设点A（x1，y1），B（x2，y2）
有x1+x2=
，x1x2=
|AB|=
=
**（6分）
又因为k=tanθ=
代入**式得
|AB|=
=
=
（8分）
当θ=
时，直线AB的方程为x=3，
此时|AB|=3
（10分）
而当θ=
时，|AB|=
=3
综上所述所以|AB|=
（11分）
（Ⅲ）过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，
同理可得|CD|=
=
（12分）
有|AB|+|CD|=
+
=
因为sin2θ∈[0，1]，
所以当且仅当sin2θ=1时，
|AB|+|CD|有最小值是8
（16分）
|
|
所求椭圆M的方程为
| x2 |
| 18 |
| y2 |
| 9 |
（Ⅱ）当θ≠
| π |
| 2 |
则直线AB的方程为y=k（x-3）
有
|
设点A（x1，y1），B（x2，y2）
有x1+x2=
| 12k2 |
| 1+2k2 |
| 18(k2-1) |
| 1+2k2 |
|AB|=
(1+k2)[(
|
6
| ||
| 1+2k2 |
又因为k=tanθ=
| sinθ |
| cosθ |
|AB|=
6
| ||
| cos2θ+sin2θ |
6
| ||
| 1-sin2θ+2sin2θ |
6
| ||
| 1+sin2θ |
当θ=
| π |
| 2 |
此时|AB|=3
| 2 |
而当θ=
| π |
| 2 |
6
| ||
| 1+sin2θ |
| 2 |
综上所述所以|AB|=
6
| ||
| 1+sin2θ |
（Ⅲ）过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，
同理可得|CD|=
6
| ||
| 2+k2 |
6
| ||
| 1+cos2θ |
有|AB|+|CD|=
6
| ||
| 1+sin2θ |
6
| ||
| 1+cos2θ |
18
| ||
2+
|
因为sin2θ∈[0，1]，
所以当且仅当sin2θ=1时，
|AB|+|CD|有最小值是8
| 2 |
点评：本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆中弦长公式的应用，渗透了函数求最值的问题．
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