Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其相应于焦点F（2，0）的准线方程为x=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点F₁（-2，0）倾斜角为θ的直线交椭圆C于A，B两点．
求证：|AB|=

4 2

2-cos2θ

；
（Ⅲ）过点F₁（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求|AB|+|DE|的最小值．

Answer 1

分析：（1）求椭圆的方程关键是计算a²与b²的值，由焦点F（2，0）的准线方程为x=4．不难求出a²的值，再根据c²=a²-b²可求出b²代入即可求出椭圆的方程．
（2）由椭圆的第二定义，我们可以将过焦点的弦长，转化为直线与圆的交点到对应准线的距离，不难证明结论．
（3）由（2）的结论，我们可以分别给出|AB|，|DE|，则可将求|AB|+|DE|的最值转化为一个三角函数问题，然后根据三角函数求最值的方法进行求解．

解答：解：（Ⅰ）由题意：

c=2 a2 c =4 c2=a2-b2

，解得a²=8，b²=4．
所求的求椭圆C的方程

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁（-2，0）是椭圆的右焦点，e=

2

2

．设l为椭圆的左准线，则l：x=-4．作AA₁⊥l于A₁点，BB₁⊥l于B₁点，l与x轴的交点为H．
∵点A在椭圆上，∴|AF1|=

2

2

|AA1|=

2

2

(|HF1|+|F1A|cosθ)=

2

+

2

2

|F1A|cosθ．
∴|AF1|=

2

2 -cosθ

，同理|BF1|=

2

2 +cosθ

．（其中θ为直线AB的倾斜角）．
∴|AB|=|AF1|+|BF1|=

2

2 -cosθ

+

2

2 +cosθ

=

4 2

2-cos2θ

．
（Ⅲ）设直线AB的倾斜角为θ，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）知：|AB|=

4 2

2-cos2θ

，|DE|=

4 2

2-sin2θ

，|AB|+|DE|=

4 2

2-cos2θ

+

4 2

2-sin2θ

=

12 2

2+ 1 2 sin22θ

．
当θ=

π

4

或θ=

3π

4

时，|AB|+|DE|取得最小值

16 2

3

．

点评：本题主要考查直线的方程、椭圆的方程及几何性质、直线和椭圆的位置关系等基础知识、考查数形结合的数学思想以及运算能力和综合解题能力．运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．