Question

20．如图所示，互相垂直的两条道路l₁、l₂相交于O点，点P与l₁、l₂的距离分别为2千米、3千米，过点P建一条直线道路AB，与l₁、l₂分别交于A、B两点． 
（1）当∠BAO=45°时，试求OA的长；
（2）若使△AOB的面积最小，试求OA、OB的长．

Answer 1

分析 以l₁为x轴，l₂为y轴，建立平面直角坐标系，则O（0，0），P（3，2）．
（1）由∠BAO=45°，知OA=OB，可设A（a，0），B（0，a）（a＞0），可得直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，由l过点P（3，2），代入方程解得a即可得出．
（2）设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）．直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，由l过点P（3，2），可得$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1，b=\frac{2a}{a-3}$，（a＞3）．从而${S_{△ABO}}=\frac{1}{2}a•b=\frac{1}{2}a•\frac{2a}{a-3}=\frac{a^2}{a-3}$，令a-3=t，t＞0，则a²=（t+3）²=t²+6t+9，代入利用函数的单调性即可得出．

解答 解：以l₁为x轴，l₂为y轴，建立平面直角坐标系，则O（0，0），P（3，2）…（1分）
（1）由∠BAO=45°，知OA=OB，可设A（a，0），B（0，a）（a＞0）
直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，…（3分）
∵l过点P（3，2），∴$\frac{3}{a}+\frac{2}{a}=1⇒a=5$…（5分）
即OA=5（千米）                         …（7分）
（2）设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）
则直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，
∵l过点P（3，2），∴$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1，b=\frac{2a}{a-3}$，（a＞3）…（9分）
从而${S_{△ABO}}=\frac{1}{2}a•b=\frac{1}{2}a•\frac{2a}{a-3}=\frac{a^2}{a-3}$，…（11分）
令a-3=t，t＞0，则a²=（t+3）²=t²+6t+9，
故有${S_{△ABO}}=\frac{{{t^2}+6t+9}}{t}=t+\frac{9}{t}+6$（t＞0）
设$f（t）=t+\frac{9}{t}+6$，可证f（t）在（0，3）上递减，在（3，+∞）上递增．
∴当t=3时，f（t）_max=f（3）=12…（15分）
此时a=6，b=4，直线l的方程为$\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$
即OA=6（千米），即OB=4（千米）．        …（16分）

点评 本题考查了直线的截距式、三角形面积计算公式、函数的单调性、换元方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．