Question

在平面直角坐标系xoy中，动点M到两定点F₁（0，-

3

），F₂（0，

3

）的距离之和为4，设点M的轨迹是曲线C．已知直线l与曲线C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，

m

=（2x₁，y₁），

n

=（2x₂，y₂），且m⊥n．
（1）若直线l过曲线C的焦点F（0，c） （c为半焦距），求直线l的斜率k的值；
（2）△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明； 如果不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆定义得曲线C的方程为

y2

4

+x2=1，设AB方程为y=kx+

3

，代入椭圆方程

y2

4

+x2=1，得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出直线l的斜率k的值．
（2）当A为顶点时，B必为顶点，则△AOB的面积是1；当A，B不为顶点时，设AB方程为y=kx+m与椭圆方程联立，得（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式能求出三角形的面积为定值1．

解答： 解：（1）∵动点M到两定点F₁（0，-

3

），F₂（0，

3

）的距离之和为4，
∴由椭圆定义得动点M是以两定点F₁（0，-

3

），F₂（0，

3

）为焦点的椭圆，
且椭圆的长轴长为4，
∴曲线C的方程为

y2

4

+x2=1，
设AB方程为y=kx+

3

，代入椭圆方程

y2

4

+x2=1，
消元可得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，
∵直线l与曲线C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
∴x1+x2=

-2 3 k

k2+4

，x₁x₂=

-1

k2+4

，
∵

m

=（2x₁，y₁），

n

=（2x₂，y₂），且m⊥n．
∴4x₁x₂+y₁y₂=0，
∴4x₁x₂+（kx₁+

3

）（kx₂+

3

）=0，
∴（4+k²）x₁x₂+

3

k(x1+x2)+3=0，
∴(4+k2)•

-1

k2+4

+

3

k×

-2 3 k

k2+4

+3=0
解得k=±

2

，即直线l的斜率k的值为±

2

．
（2）当A为顶点时，B必为顶点，则△AOB的面积是1；
当A，B不为顶点时，
设AB方程为y=kx+m与椭圆方程联立，
消元可得（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0
∴x1+x2=

-2mk

k2+4

，x1x2=

m2-4

k2+4

，
∵

m

=（2x₁，y₁），

n

=（2x₂，y₂），且m⊥n．
∴4x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
∴2m²-k²=4，
∴△AOB的面积是

1

2

•|m|•|x₁-x₂|=

|m| 4k2-4m2+16

k2+4

=

4m2

2|m|

=1．
∴三角形的面积为定值1．

点评：本题考查直线的斜率的求法，考查三角形的面积是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．