Question

在平面直角坐标系xoy中，设抛物线C：y²=4x
（1）求抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标；
（2）设命题p：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于点A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为k_MA，k_MB，k_AB若

1

kMA

+

1

kMB

为定值，则k_AB为定值．判断命题p的真假，并证明；
（3）写出（2）中命题p的逆命题，并判断真假（不要求证明）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，由此能求出抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁≠x₂，y₁≠y₂，则

1

kMA

+

1

kMB

=

x1-1

y1-2

+

x2-1

y2-2

，kAB=

y1-y2

x1-x2

，由此能证明当

1

kMA

+

1

kMB

为定值时，k_AB为定值．
（3）把命题p的题设和结论互换，能求出逆命题，命题p的逆命题是真命题．

解答： 解：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，
由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，解得x=4，
∴抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标为4．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁≠x₂，y₁≠y₂，
则

1

kMA

+

1

kMB

=

x1-1

y1-2

+

x2-1

y2-2

，kAB=

y1-y2

x1-x2

，
∵点A，B在抛物线C上，
∴

y12=4x1 y22=4x2

，即

x1= y12 4 x2= y22 4

，
代入上式，化简得：

1

kMA

+

1

kMB

=

y12-4

4(y1-2)

+

y22-4

4(y2-2)

=

y1+2

4

+

y2+2

4

=

y1+y2

4

+1，
k_AB=

4(y1-y2)

y12-y22

=

4

y1+y2

，
∴

1

kMA

+

1

kMB

为定值时，y₁+y₂为定值，∴k_AB为定值．
（3）命题p的逆命题：
过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为k_MA，k_MB，k_AB，若k_AB为定值，则

1

kMA

+

1

kMB

为定值．
命题p的逆命题是真命题．

点评：本题考查抛物线上点的横坐标的求法，考查直线的斜率为定值的证明，考查命题的逆命题的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．