Question

直线y=

3

x与双曲线C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左右两支分别交于M、N两点，F为双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|=|MO|，则双曲线的离心率等于（　　）

• A、

  3

  +

  2

• B、

  3

  +1
• C、

  2

  +1
• D、2

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据直线的斜率公式，得∠NOF=60°，所以△ONF是以c为边长的等边三角形，得点N（

1

2

c，

3

2

c），代入双曲线方程并化简整理，得关于离心率e的方程，解之可得该双曲线的离心率．

解答： 解：∵直线y=

3

x交双曲左右两支于M，N，且|OM|=|OF|，
∴由tan∠NOF=

3

，得∠NOF=60°，且|ON|=|OF|，
因此△ONF是以c为边长的等边三角形，
得N（

1

2

c，

3

2

c），代入双曲线方程得

c2 4

a2

-

3c2 4

b2

=1
将e=

c

a

和b²=c²-a²代入化简整理，
得

1

4

e²-

3

4

•

e2

e2-1

=1，解之得e²=4±2

3

，
∴双曲线的离心率e=

3

+1（因为双曲线离心率e＞1，舍去

3

-1）
故选B．

点评：本题给出直线交双曲线于M、N两点，且在|ON|=c的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单性质和直线与双曲线位置关系等知识，属于基础题．