Question

已知函数f（x）=cos（2x+

π

6

）-2sin²（x+

π

4

）
（1）若f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，求|x₂-x₁|的最小值；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,函数恒成立问题,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过恒等变换把三角函数关系是变形成余弦型函数的形式，进一步利用恒成立问题求出结论．
（2）利用（1）的结论，根据自变量的取值范围求函数的值域．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=cos（2x+

π

6

）-2sin²（x+

π

4

）=

3

2

cos2x-

1

2

sin2x-1+cos(2x+

π

2

)
=

3

2

cos2x-

3

2

sin2x-1=

3

cos(2x+

π

3

)-1       …（6分）
由于：f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）
所以：|x₂-x₁|的最小值相当于函数在半个周期中函数最值的差．
即：T=

2π

2

=π
所以：|x₂-x₁|=

π

2

（2）∵0≤x≤

π

2

∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

∴-1≤cos(2x+

π

3

)≤

1

2

∴-

3

-1≤

3

cos(2x+

π

3

)-1≤

3

2

-1
即f（x）的值域为[-

3

-1，

3

2

-1]

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，恒成立问题的应用，利用函数的定义域求余弦型函数的值域，属于基础题型．