Question

若（1-

1

x2

）ⁿ（n∈N^*，n＞1）的展开式中x^-4的系数为a_n，则

lim

n→∞

（

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

）=

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于-4，求得r的值，即可求得展开式中的x^-4的系数a_n，再用裂项法求得

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

的值，从而求得所给式子的值．

解答： 解：（1-

1

x2

）ⁿ（n∈N^*，n＞1）的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r n

•（-1）^r•x^-2r，令-2r=-4，r=2，
故展开式中x^-4的系数为a_n=

C

2 n

=

n(n-1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n-1)

=2（

1

n-1

-

1

n

）．
则

lim

n→∞

（

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

）=

lim

n→∞

 2（

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

）=

lim

n→∞

2（1-

1

n

）=2，
故答案为：2．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，用裂项法进行数列求和，属于中档题．