Question

如图，在长方体AC₁中，AB=BC=2，，点E、F分别是面A₁C₁、面BC₁的中心．

（1）求证：BE//平面D₁AC；
（2）求证：AF⊥BE；
（3）求异面直线AF与BD所成角的余弦值。

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

试题分析：（1）连接和交于点，连接，证为平行四边形得//，根据线面平行的判定定理即可证得//平面。（2）用空间向量法证两向量数量积为0。（3）用空间向量法求两向量所成角的余弦值，但应注意两空间向量所成角范围为，异面直线所成角范围为，所以其余弦值应为正数。
试题解析：
（1）（方法一）连接和交于点，连接，由长方体知//且，
所以四边形为平行四边形，所以//，又平面，平
面，故//平面。            （4分）

（方法二）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则,
,.,,,
从而，故故//平面。 （4分）
（2）由（1）的方法二可知，
∴，   （6分）
∴.    （7分）
所以              （8分）
（3）由（1）、（2）知，，设异面直线AF与BD所成
的角为q，则，
故异面直线与所成角的余弦值为                 （12分）