题目内容
如图，边长为2的正方形
中，点
是
的中点，点
是
的中点，将△
、△
分别沿
、
折起，使
、
两点重合于点
，连接
，
．
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值．
中，点是的中点，点是的中点，将△、△分别沿、折起，使、两点重合于点，连接，．（1）求证：
；（2）求二面角
的余弦值．（1）详见解析；（2）
.
.试题分析：（1）由
，
证出
平面
，进而证出结论；（2）方法一：根据对称可判断
即为所求，由（1）可证△
为直角三角形，再求出边长即可；方法二：建系，求出平面
和平面的法向量，两法向量的夹角的余弦值即为所求.试题解析：（1）在正方形
中，有
，
1分则
， 2分又
3分∴
平面 4分而
平面，∴ 5分（2）方法一：连接
交于点
，连接
6分∵在正方形
中，点是的中点，点是的中点，∴
，
，∴点
为的中点，且
7分∵正方形
的边长为2，∴
，∴
8分∴
为二面角的平面角 9分
由（1）可得
，∴△
为直角三角形 10分∵正方形
的边长为2，∴
，
，∴
，
，又
11分∴
12分∴
13分∴二面角
的余弦值为 14分方法二：∵正方形
的边长为2，点是的中点，点是的中点，∴
，∴
6分∴
，∴
7分
由（1）得
平面，∴分别以
，
，
为
，
，
轴建立如图所示的空间直角坐标系
， 8分则
，
，
，
9分∴
，
，设平面
的一个法向量为
，则由
，可取
11分又平面
的一个法向量可取
12分∴
13分∴二面角
的余弦值为. 14分.
练习册系列答案
相关题目
，点E、F分别是面A1C1、面BC1的中心．
，D点在平面yoz上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°.
的值.
=(1,5,-2),
=(3,1,z),若
=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为( )
,-
,4
,-
，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ( )．
＝
，
＝
，其中
＝λ
，
，A为动点，
，则
与
夹角的最小值为（ ）
等于（ ）
的距离是___________.