Question

已知数列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n+1=

3an

an+3

，
（1）求a_n；
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n•

n(3-4an)

an

=1，求证：

1

2

≤S_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得an≠0，

1

an+1

-

1

an

=

1

3

，由此能求出an=

3

n+5

．
（2）由b_n=

an

n(3-4an)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法能证明

1

2

≤Sn＜1．

解答： （1）解：由已知得an≠0，

1

an+1

-

1

an

=

1

3

，
∵

1

a1

=2，∴{

1

an

}是以2为首项、以

1

3

为公差的等差数列，
∵

1

an

=2+

1

3

(n-1)=

n+5

3

，
∴an=

3

n+5

；
（2）证明：∵b_n•

n(3-4an)

an

=1，an=

3

n+5

，
∴b_n=

an

n(3-4an)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1，
∵S_n=1-

1

n+1

关于n单调递增，
∴(Sn)min=S1=1-

1

2

=

1

2

，
∴

1

2

≤Sn＜1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．