Question

已知函数f（x）=blnx-ax+1（ab＞0）
（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性．
（2）若b=1时，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，结合函数的定义域可得函数的单调区间；
（2）b=1时，f（x）≤0恒成立，即lnx-ax+1≤0恒成立，即a≥

lnx+1

x

恒成立，求出y=

lnx+1

x

的最大值，即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=blnx-ax+1（ab＞0），
∴f′（x）=

b

x

-a=

b-ax

x

，
当a＞0，b＞0时，由f′（x）＞0，结合函数的定义域可得函数的单调增区间为（0，

b

a

）；
由f′（x）＜0，结合函数的定义域可得函数的单调减区间为（

b

a

，+∞）；
当a＜0，b＜0时，由f′（x）＞0，结合函数的定义域可得函数的单调增区间为（

b

a

，+∞）；
由f′（x）＜0，结合函数的定义域可得函数的单调减区间为（0，

b

a

）；
（2）b=1时，f（x）≤0恒成立，即lnx-ax+1≤0恒成立，即a≥

lnx+1

x

恒成立，
设y=

lnx+1

x

，则y′=

-lnx

x2

，
∴函数y=

lnx+1

x

在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴x=1时，y=

lnx+1

x

的最大值为1，
∴a≥1．

点评：本题考查求实数a的取值范围，考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立求参数的取值范围问题．恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．