Question

5．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A₀，A₁，A₂，B₁，B₂，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：
①A₀，A₁，A₂，…，A₈所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为$x：y=1：\sqrt{2}$；
②将A₀纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A₁规格，A₁纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A₂规格，…，如此对开至A₈规格．现有A₀，A₁，A₂，…，A₈纸各一张．若A₄纸的宽度为2dm，则A₀纸的面积为64$\sqrt{2}$dm²；这9张纸的面积之和等于$\frac{511\sqrt{2}}{4}$dm²．

Answer 1

分析 可设A_i纸张的长度为y_i，i=0，1，…，8，由题意可得y₄=2$\sqrt{2}$，再由等比数列的通项公式和面积公式，以及求和公式，即可得到所求值．

解答 解：可设A_i纸张的长度为y_i，i=0，1，…，8，
由A₄纸的宽度为2dm，且纸张的幅宽和长度的比例关系都为$x：y=1：\sqrt{2}$，
可得y₄=2$\sqrt{2}$，
由题意可得y₀=2$\sqrt{2}$•2⁴=32$\sqrt{2}$，即有A₀纸的面积为32$\sqrt{2}$×2=64$\sqrt{2}$dm²；
由A₀，A₁，A₂，…，A₈纸9张纸的面积构成一个以64$\sqrt{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
可得这9张纸的面积之和为$\frac{64\sqrt{2}（1-\frac{1}{{2}^{9}}）}{1-2}$=$\frac{511\sqrt{2}}{4}$dm²．
故答案为：64$\sqrt{2}$，$\frac{511\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查数列模型的应用题的解法，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．