Question

10．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁上的一个动点，平面BED₁交棱AA₁于点F．则下列命题中真命题的个数是（　　）
①存在点E，使得A₁C₁∥平面BED₁F；②存在点E，使得B₁D⊥平面BED₁F；
③对于任意的点E，平面A₁C₁D⊥平面BED₁F；④对于任意的点E，四棱锥B₁-BED₁F的体积均不变．

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可．

解答 解：①当E为棱CC₁上的一中点时，此时F也为棱AAC₁上的一个中点，此时A₁C₁∥EF；满足A₁C₁∥平面BED₁F成立，∴①正确．

②∵B₁D⊆平面BED₁F，∴不可能存在点E，使得B₁D⊥平面BED₁F，∴②错误．
③连结D₁B，则D₁B⊥平面A₁C₁D，而B₁D⊆平面BED₁F，∴平面A₁C₁D⊥平面BED₁F，成立，∴③正确．

④四棱锥B₁-BED₁F的体积等于VD1-BB1F+VD1-B1BF，
设正方体的棱长为1，
∵无论E，F在何点，三角形BB₁E的面积为$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$为定值，三棱锥D₁-BB₁E的高D₁C₁=1，保持不变．
三角形BB₁F的面积为$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$为定值，三棱锥D₁-BB₁F的高为D₁A₁=1，保持不变．
∴三棱锥D₁-BB₁E和三棱锥D₁-BB₁F体积为定值，
即四棱锥B₁-BED₁F的体积等于VD1-BB1F+VD1-B1BF为定值，∴④正确．
故正确的命题有：①③④共3个，
故选：D

点评 本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断以及利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大