Question

5．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的取值范围是[2，$\frac{10}{3}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，设k=$\frac{y}{x}$，利用k的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设k=$\frac{y}{x}$，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
则z=k+$\frac{1}{k}$，
由图象知，OA的斜率最大，OB的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），此时k=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（3，1），此时k=$\frac{1}{3}$，
则$\frac{1}{3}$≤k≤2，
∵z=k+$\frac{1}{k}$在[$\frac{1}{3}$，1]上为减函数，则[1，2]上为增函数，
∴当k=1时，函数取得最小值为z=1+1=2，
当k=$\frac{1}{3}$时，z=$\frac{1}{3}+3$=$\frac{10}{3}$，
当k=2时，z=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$＜$\frac{10}{3}$，
则z的最大值为$\frac{10}{3}$，
故2≤z≤$\frac{10}{3}$，
故答案为：[2，$\frac{10}{3}$]

点评 本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，利用数形结合结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．