Question

4．已知公差不为零的等差数列{a_n}，满足a₁+a₃+a₅=12，且a₁，a₅，a₁₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和；
（3）设c_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，T_n为数列{c_n}的前n项和，求证：T_n＜$\frac{25}{36}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），运用等差（比）数列的中项的性质，以及等差数列的通项公式，计算即可得到所求；
（2）求得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，由裂项相消求和即可得到所求和；
（3）c_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，从数列{c_n}的第三项放缩，即可得证．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
∵a₁+a₃+a₅=12，
∴3a₃=12，∴a₃=4．
∵a₁，a₅，a₁₇成等比数列，
∴a₅²=a₁a₁₇，
∴（4+2d）²=（4-2d）（4+14d），
∵d≠0，解得d=1，
∴a_n=a₃+（n-3）d=4+（n-3）=n+1；
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=n+1，n∈N^*；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
数列{b_n}的前n项和为$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$；
（3）证明：c_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
T_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{13}{36}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{25}{36}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{25}{36}$，
即有T_n＜$\frac{25}{36}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、裂项相消求和和“放缩法”证明不等式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．