Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过点（0，-3），且f（4）=f（-2）=5，
（1）求f（x）的解析式
（2）若x∈[0，3]，求函数f（x）对应的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设出f（x）=ax²+bx+c，先由f（x）的图象经过点（0，-3）得到c=-3，再由已知条件知点（4，5），（-2，5）在图象上，所以将这两点坐标带入f（x）=ax²+bx-3即可求得a=1，b=-2；
（2）对f（x）配方：f（x）=（x-1）²-4，通过此时f（x）解析式即可看出f（x）的最小值为-4，最大值0，所以对应值域为[-4，0]．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，（a≠0）；
∵f（x）的图象经过点（0，-3），所以得到c=-3；
∴f（x）=ax²+bx-3；
由f（4）=f（-2）=5知f（x）的图象经过点（4，5），（-2，5）；
∴

16a+4b-3=5 4a-2b-3=5

；
解得a=1，b=-2；
∴f（x）=x²-2x-3；
（2）f（x）=（x-1）²-4；
∴f（1）=-4是f（x）的最小值，f（3）=0是f（x）的最大值；
∴f（x）在[0，3]上的值域为[-4，0]．

点评：考查二次函数的一般形式，图象上点的坐标和函数解析式的关系，以及配方法求二次函数的最值，从而求出其在闭区间上的值域．