Question

已知动点P（x，y）到定点F（4，0）的距离与到定直线l：x=

25

4

的距离之比为

4

5

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；
（Ⅱ）过圆O：x²+y²=5²+3²上任一点Q（m，n）作轨迹W的两条切线l₁，l₂，求证：l₁⊥l₂；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）证明的结论，写出一个一般性结论（不需证明）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）动点P（x，y）到定点F（4，0）的距离与到定直线l：x=

25

4

的距离之比为

4

5

，由椭圆的第二定义知动点P的轨迹是焦点在x轴的椭圆，可得

c=4 a2 c = 25 4 c a = 4 5

，解得即可；
（Ⅱ）假设两条切线的斜率都存在时，设切线方程为y=k（x-m）+n，m²+n²=34．与椭圆方程化为（9+25k²）x²+50k（n-km）x+25（n-km）²-225=0，利用△=0，化为（m²-25）k²-2mnk+n²-9=0，只要证明k₁k₂=-1，即可．当两条切线的斜率由一条不存在时，直接验证两条切线垂直．
（III）根据（Ⅱ）证明的结论，写出一个一般性结论：过圆x²+y²=a²+b²上的任意一点P（m，n）作椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两条切线，则此两条切线相互垂直．

解答： （Ⅰ）解：∵动点P（x，y）到定点F（4，0）的距离与到定直线l：x=

25

4

的距离之比为

4

5

，
∴由椭圆的第二定义知动点P的轨迹是焦点在x轴的椭圆，
且

c=4 a2 c = 25 4 c a = 4 5

，解得a=5，c=4，
∴b²=25-16=9，
∴动点P的轨迹W的方程为

x2

25

+

y2

9

=1．
（Ⅱ）证明：假设两条切线的斜率都存在时，设切线方程为y=k（x-m）+n，m²+n²=34．
联立

y=k(x-m)+n x2 25 + y2 9 =1

，化为（9+25k²）x²+50k（n-km）x+25（n-km）²-225=0，
∴△=2500（n-km）²k²-4（9+25k²）[25（n-km）²-225]=0，
化为（m²-25）k²-2mnk+n²-9=0，
∴k₁k₂=

n2-9

m2-25

=

25-m2

m2-25

=-1，
因此此时椭圆的两条切线相互垂直．
当两条切线的斜率由一条不存在时，直接验证两条切线垂直．
综上可得：l₁⊥l₂；
（III）解：根据（Ⅱ）证明的结论，写出一个一般性结论：过圆x²+y²=a²+b²上的任意一点P（m，n）作椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两条切线，则此两条切线相互垂直．

点评：本题考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为方程联立可得△=0、一元二次方程的根与系数的关系、直线相互垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．