Question

已知tanα、tanβ是关于x的方程mx²-2x

7m-3

+2m=0的两个实根，则tan（α+β）的取值范围是（　　）

• A、[-

  7 3

  3

  ，-2

  2

  ]
• B、[-

  7 2

  3

  ，-2

  2

  ]
• C、[-

  7 3

  3

  ，+∞）
• D、[-

  7 2

  3

  ，-2

  3

  ]

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：根据△≥0，求得m的范围，利用韦达定理求得tanα+tanβ 和 tanα•tanβ，可得tan（α+β）=

2 7m-3

-m

．
令

7m-3

=t，则 t∈[

2

2

，3

2

]，且 tan（α+β）=-

14

3 t +t

．利用函数y=

3

t

+t的单调性，求得y的范围，可得-

14

3 t +t

的范围．

解答： 解：由题意可得△=-8m²+28m-12≥0，求得

1

2

≤m≤3．
而且tanα+tanβ=

2 7m-3

m

，tanα•tanβ=2．
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

2 7m-3

-m

．
令

7m-3

=t，则 t∈[

2

2

，3

2

]，且 tan（α+β）=-

14t

3+t2

=-

14

3 t +t

．
对于函数y=

3

t

+t，它在[

2

2

，

3

]上是减函数，在[

3

，3

2

]上是增函数，
当t=

2

2

时，y=

7 2

2

；当t=

3

时，y=2

3

；当t=3

2

 时，y=

7 2

2

，
∴y∈[2

3

，

7 2

2

]，∴-

14

3 t +t

∈[-

7 3

3

，-2

2

]，
故选：A．

点评：本题主要考查韦达定理、两角和的正切公式、利用单调性求函数的值域，属于中档题．