Question

5．设等差数列{a_n}的前n项的和为S_n，已知a₁=1，$\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+\frac{S_4}{4}$=12．
（1）求{a_n}的通项公式a_n；
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，b_n的前n项和T_n，求证；T_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用前n项和公式列方程计算公差d，从而得出a_n；
（2）b_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），使用裂项法求出T_n即可得出结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则S₂=2a₁+d，S₃=3a₁+3d，S₄=4a₁+6d，
∵$\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+\frac{S_4}{4}$=12，
∴3a₁+3d=12，即3+3d=12，
解得d=3，
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（2）b_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$）+…+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{n}{3n+1}$
∴T_n=$\frac{n}{3n+1}$＜$\frac{n}{3n}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了等差数列的性质，求和公式，数列求和的计算，属于中档题．