Question

如图所示，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P（2，0）作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=

1

2

x上时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：待定系数法求直线方程

专题：直线与圆

分析：由题意分别求出直线OA、OB的方程，由方程设出A、B的坐标，由中点坐标公式求出点C的坐标，利用C在直线y=

1

2

x上和三点共线：斜率相等，列出方程组求出方程的解，即可求出A的坐标，结合P（2，0）求出直线AB的斜率，代入点斜式方程再化简即可得直线AB的方程．

解答： 解：由题意可得k_OA=1，kOB=-

3

3

，
所以直线OA的方程为y=x，直线OB的方程为y=-

3

3

x．
设A（m，m），B（-

3

n，n），
所以AB的中点C的坐标为(

m- 3 n

2

，

m+n

2

)，
因为点C在y=

1

2

x直线上，且A、P、B三点共线，
所以

m+n 2 = 1 2 • m- 3 n 2 m-0 m-2 = n-0 - 3 n-2

，解得m=2

3

，…（8分） 
所以A(2

3

，2

3

)．
又P（2，0），所以kAB=kAP=

2 3

2 3 -2

=

3+ 3

2

，
所以直线AB的方程为：y=

3+ 3

2

（x-2），即(3+

3

)x-2y-6-2

3

=0．…（12分）

点评：本题考查直线的有关知识：中点坐标公式、点斜式方程、三点共线：斜率相等，以及方程思想，考查计算能力．