Question

6．已知△ABC的内角A，B，C的对边长为a，b，c，面积为S，且 S=1，a=1．
（1）若B=$\frac{π}{6}$，求边长b；
（2）若A=$\frac{π}{6}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面积公式，结合余弦定理边长b；
（2）利用三角形的面积公式，求出bc，利用余弦定理求出b+c，即可求△ABC的周长．

解答 解：（1）∵B=$\frac{π}{6}$，S=1，a=1，
∴1=$\frac{1}{2}$×1×c×$\frac{1}{2}$，
∴c=4，
∴b=$\sqrt{1+16-2×1×4×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{17-4\sqrt{3}}$；
（2）∵A=$\frac{π}{6}$，
∴1=$\frac{1}{2}bc×\frac{1}{2}$，
∴bc=4，
∵a=1，
∴1=b²+c²-2bc•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=b²+c²-4$\sqrt{3}$
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=9-4$\sqrt{3}$
∴b+c=$\sqrt{9-4\sqrt{3}}$
∴△ABC的周长C=1+b+c=1+$\sqrt{9-4\sqrt{3}}$．

点评 本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．