Question

14．已知数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+3ⁿ且a₁=1，求数列{a_n}．

Answer 1

分析 把已知的递推式两边同时除以3ⁿ⁺¹，得到数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}构成以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，求出{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}的通项公式后得答案．

解答 解：由a_n+1=3a_n+3ⁿ，得
$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{1}{3}$，
∵a₁=1，∴$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}=\frac{1}{3}$，
则数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}构成以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，
则$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{n}{3}$，
∴${a}_{n}=n•{3}^{n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，考查等差数列的通项公式的求法，是中档题．