题目内容
11.设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1.(1)求f(1);
(2)若f(x)+2≤f(x+8),求x的取值范围.
分析 ①利用赋值法进行求f(1)的值;
②根据函数的单调性的定义判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明.
③根据函数单调性的性质解不等式即可.
解答 解:(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.
(2)∵f(3)=1,
∴f(3)+f(3)=1+1=2,
即f(3×3)=f(9)=2,
则不等式f(x)+2≤f(x+8),
等价为f(x)+f(9)≤f(x+8),
即f(9x)≤f(x+8),
∵f(x)在(0,+∞)上的是增函数,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{x+8>0}\\{9x≤x+8}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{x>-8}\\{x≤1}\end{array}\right.$,解得0<x≤1,
即不等式的解集为(0,1].
点评 本题主要考查抽象函数的求值,利用赋值法是解决抽象函数的基本方法,利用函数的单调性的应用是解决本题的关键,考查学生的运算能力.
练习册系列答案
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C. | 求1+4+7+10+13的值 | D. | 解不等式ax+b>0(a≠0) |