Question

5．在△OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且AB∥MN，2OA=OM，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，$\frac{y+x+2}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{1}{2}，2]$
• B． $[\frac{1}{3}，3]$
• C． $[\frac{3}{2}，3]$
• D． $[\frac{4}{3}，4]$

Answer 1

分析 利用向量知识可知，推出点Q（x，y）落 在平面直角坐标系中两直线x+y=1，x+y=2及x轴、y轴围成的四边形（含边界）内．画出图形，利用目标函数的几何意义求解即可．

解答 解：由题意，点P（x，y）落 在平面直角坐标系中两直线x+y=1，x+y=2及x轴、y轴围成的四边形（含边界）内．又因为$\frac{y+x+2}{x+1}=\frac{y+1}{x+1}+1=k+1$，其中$k=\frac{y+1}{x+1}$表示点Q（-1，-1）与点P连线的斜率．
由图形可知$\frac{1}{3}≤k≤3$，所以$\frac{4}{3}≤\frac{y+x+2}{x+1}≤4$．
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．