Question

已知函数f（x）=

3

msinxcosx+mcos²x+n（m＞0）在区间[0，

π

4

]上的值域为[1，2]．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=4sin（π-C），△ABC的面积为

3

，求边长a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理的应用

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）函数可化简为f（x）=msin(2x+

π

6

)+

m

2

+n，从而可根据其值域求出m，n的值，从而确定解析式，由正弦函数的性质即可确定单调区间；
（Ⅱ）f（A）=1即可求得A，由sinB=4sin（π-C），△ABC的面积为

3

，可求得bc=4，根据余弦定理即可求边长a的值．

解答： 解：（Ⅰ） f(x)=

3

msinxcosx+mcos2x+n=

3 m

2

sin2x+

m

2

(1+cos2x)+n=

m

2

(

3

sin2x+cos2x)+

m

2

+n=msin(2x+

π

6

)+

m

2

+n，
当x∈[0，

π

4

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，则

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．
由m＞0，则

m 2 + m 2 +n=1 m+ m 2 +n=2

解得m=2，n=-1，
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
故函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（Ⅱ）由f(A)=2sin(2A+

π

6

)=1，即sin(2A+

π

6

)=

1

2

，所以A=

π

3

．
因为sinB=4sin（π-C），所以sinB=4sinC，则b=4c，
又△ABC面积为

3

，所以S=

1

2

bcsin

π

3

=

3

，即bc=4，
所以b=4，c=1，则a2=42+12-2×4×1×cos

π

3

=13，
所以a=

13

．

点评：本题主要考察了余弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．