题目内容
已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（1）求PB的长；
（2）求证：AC⊥平面PBD．
考点：直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）连接BD，根据底面ABCD是正方形，且PD=AB=2，求出BD，再根据PD⊥底面ABCD，利用勾股定理即可求出PB的长，
（2）连接AC，根据底面ABCD是正方形，得到AC⊥BD，再根据PD⊥底面ABCD，得到PD⊥AC，根据线面垂直的判定定理即可证明．
（2）连接AC，根据底面ABCD是正方形，得到AC⊥BD，再根据PD⊥底面ABCD，得到PD⊥AC，根据线面垂直的判定定理即可证明．
解答：
解：（1）连接BD，
∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．
∴PD⊥BD，DB=
=2
，
∴PB=
=
=2
，
（2）连接AC，
∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD，BD?平面PBD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD．
解：（1）连接BD，∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．
∴PD⊥BD，DB=
| AD2+AB2 |
| 2 |
∴PB=
| PD2+BD2 |
| 22+8 |
| 3 |
（2）连接AC，
∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD，BD?平面PBD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD．
点评：本题主要考查了线面垂直判定定理的应用，以及勾股定理的应用，证明线面垂直关键是转化为证明线线垂直，属于中档题．
练习册系列答案
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如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点．