Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”；
己知g（x）=x³-3a²x+2a，h（x）=

1

2

x2-ln（1+x²）请回答下列问题：
（1）求函数g（x）的“拐点”的坐标
（2）写出一个三次函数ϕ（x），使得它的“拐点”是（-1，3）（不要写过程）
（3）判断是否存在实数a，当a≥1时，使得对于任意x₀，x₁∈[0，1]，g（x₀）≥h（x₁）恒成立，若不存在说明理由，存在则求出a的所有的可能取值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）依据“拐点”的定义直接计算即可；
（2）按照拐点的定义，逆推回去，即可得到一个拐点为（-1，3）的函数，可从幂函数入手；
（3）由题意“对于任意x₀，x₁∈[0，1]，g（x₀）≥h（x₁）恒成立”，只需保证g（x₀）_min≥h（x₁）_max即可，由此求出a的值．

解答： 解：（1）依题意，得f′（x）=3x²-3a²，
f″（x）=6x，令f″（x）=0，得x=0，
又f（0）=2a，所以g（x）的“拐点”为（0，2a）
（2）φ（x）=a（x+1）³+b（x+1）+3 （a≠0）（也可以据此给定a，b的值，写出几个关于x的函数）；
（3）g′（x）=3（x²-a²）
因此a≥1，当x∈[0，1]时，g′（x）＜3（1-a²）≤0
所以当x∈（0，1）时，g（x）是减函数
又g（1）=1+2a-3a²，g（0）=2a，即当x∈[0，1]时，
g（x）∈[1+2a-3a²，2a]，
h（x）=

1

2

x2-ln(1+x2)，由h′（x）=x-

2x

1+x2

=

x3-x

1+x2

当x₁∈[0，1]时，h′（x）≤0，所以h（x）在[0，1]上单调递减，
又h（0）=0，h（1）=

1

2

-ln2，
所以h（x₁）∈[

1

2

-ln2，0]．
若对于任意的x₀，x₁∈[0，1]，使得g（x₀）≥h（x₁）恒成立，
即有1+2a-3a²≥0恒成立，解得-

1

3

≤a≤1，
又a≥1，故仅存在a=1使得对于任意的x₀，x₁∈[0，1]
g（x₀）≥h（x₁）恒成立．

点评：对于函数的拐点，应该属于大学学习的内容，在这里考查主要是考查学生对新定义的理解与接受能力，要求较高，同时只有深刻理解导数的概念和性质在研究函数中的作用的基础上，才能较好的处理本题目．