Question

11．设点P在曲线y=lnx上，点Q在曲线y=1-$\frac{1}{x}$（x＞0）上，点R在直线y=x上，则|PR|+|RQ|的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出两曲线对应函数的导数，求得切线的斜率，由与直线y=x的平行，可得切点，由点到直线的距离公式可得最小值，进而得到所求和的最小值．

解答 解：函数y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{x}$，
设曲线y=lnx与直线y=x的平行线相切的切点为（m，n），
可得$\frac{1}{m}$=1，即m=1，可得切点为（1，0），
此时PR的最小值为$\frac{|1-0|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
y=1-$\frac{1}{x}$（x＞0）的导数为y′=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设曲线y=1-$\frac{1}{x}$（x＞0）与直线y=x的平行线相切的切点为（s，t），
可得$\frac{1}{{s}^{2}}$=1，即s=1，可得切点为（1，0），
此时RQ的最小值为$\frac{|1-0|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则P，Q重合为（1，0），R为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
|PR|+|RQ|取得最小值为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查点到直线的距离公式的运用，考查最值的求法，属于中档题．