Question

14．函数y=x+2cosx在[0，π]上的最小值为$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 可先利用导数判断函数的单调性，再利用单调性求最值．

解答 解：y′=1-2sinx=0，得x=$\frac{π}{6}$或x=$\frac{5π}{6}$，
故y=x+2cosx在区间[0，$\frac{π}{6}$]上是增函数，
在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上是减函数，在[$\frac{5π}{6}$，π]是增函数．
又x=$\frac{5π}{6}$时，y=$\frac{5π}{6}$+2cos$\frac{5π}{6}$=$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$，
x=0时，y=2＞$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$，
所以最小值为：$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{5π}{6}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查利用函数的单调性求最值、导数的应用、三角函数求值等，难度一般．