Question

对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f （x）、y=g （x），规定：h（x）=

f(x)•g(x)， 当x∈Df且x∈Dg  f(x) ，当x∈Df且x∉Dg  g(x) ，当x∉Df且x∈Dg.

（1）若函数f （x）=

1

x-1

，g （x）=x²，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）请设计一个定义域为R的函数y=f （x），及一个实常数a的值，使得f （x）•f （x+a）=x⁴+x²+1，并予证明．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把f（x），g（x）代入，从而求出函数的解析式；
（2）分别讨论x=1，x≠1的情况，从而求出函数的值域问题；
（3）根据x⁴+x²+1=（x²+1）²-x²=（x²+x+1）（x²-x+1）=（x²+x+1）[（x-1）²+（x-1）+1]，从而得出．

解答： 解：（1）h （x）=

x2 x-1 ，x∈(-∞，  1)∪(1， +∞) 1  ， x=1

，
（2）当x=1时，h （1）=1
当x≠1时，y=

x2

x-1

，即x²-yx+y=0
由关于x的方程x²-yx+y=0有实数解（显然解不为1）知
△=（-y）²-4y≥0，得y≥4或y≤0，
∴函数h （x）的值域（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞），
（3）∵x⁴+x²+1=（x²+1）²-x²=（x²+x+1）（x²-x+1）
=（x²+x+1）[（x-1）²+（x-1）+1]
∴可取f （x）=x²+x+1，a=-1
注：取f （x）=x²-x+1，a=1；f （x）=-x²+x-1，a=1；
f （x）=-x²-x-1，a=-1均可．

点评：本题考查了求函数的解析式问题，求函数的值域问题，是一道基础题．