Question

10．（1）已知圆M过点C（1，-1），D（-1，1），且圆心M在x+y-2=0上．求圆M的方程；
（2）圆O的方程为x²+y²=1，直线l₁过点A（3，0），且与圆O相切，求直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）设出圆的标准方程，由已知列关于a，b，r的方程组，求解方程组得到a，b，r的值，则圆的方程可求；
（2）由题意可知直线线l₁的斜率存在，写出直线方程点斜式，化为一般式，由圆心到直线的距离等于圆的半径求得k，则直线l₁的方程可求．

解答 解：（1）设圆M的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}（1-a{）^2}+{（-1-b）^2}={r^2}\\（-1-a{）^2}+{（1-b）^2}={r^2}\\ a+b-2=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\\{r^2}=4\end{array}\right.$．
故圆M的方程为（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）∵直线l₁过点A（3，0），且与圆C：x²+y²=1相切，可知直线l₁的斜率存在，
设直线l₁的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
∴圆心O（0，0）到直线l₁的距离d=$\frac{{|{3k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=1，解得k=±$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴直线l₁的方程为y=±$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$（x-3）．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用待定系数法求圆的方程，是中档题．