Question

14．若函数f（x）=cosx+axsinx，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）存在零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，-1）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 确定函数$f（x）=cosx+axsinx，x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$是偶函数，a＜0，f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上只有一个零点，即可得出结论．

解答 解：∵f（-x）=cos（-x）-axsin（-x）=cosx+axsinx=f（x），
∴函数$f（x）=cosx+axsinx，x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$是偶函数，
当a≥0时，$f（x）=cosx+axsinx＞0，x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$恒成立，
函数$f（x）=cosx+axsinx，x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$无零点，
当a＜0时，$f'（x）=-sinx+asinx+axcosx=（a-1）sinx+axcosx＜0，x∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴函数f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上单调递减，
∵$f（0）=1＞0，f（\frac{π}{2}）=\frac{π}{2}a＜0$，∴f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上只有一个零点，
由f（x）是偶函数可知，函数$f（x）=cosx+axsinx，x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$恰有两个零点．
故选：D．

点评 本题考查函数的零点与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．