Question

9．已知a∈R，函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+ax+2的导函数f′（x）在（-∞，1）内有最小值，若函数g（x）=$\frac{f′（x）}{x}$，则（　　）

• A． g（x）在（1，+∞）上有最大值
• B． g（x）在（1，+∞）上有最小值
• C． g（x）在（1，+∞）上为减函数
• D． g（x）在（1，+∞）上为增函数

Answer 1

分析 利用导函数的最小值求出a的范围，然后求解新函数的导数，判断函数的单调性与最值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+ax+2的导函数f′（x）=x²-2ax+a．对称轴为：x=a，
导函数f′（x）在（-∞，1）内有最小值，
令x²-2ax+a=0，可得方程在（-∞，1）有两个根，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{△=4{a}^{2}-4a＞0}\\{{1}^{2}-2a+a＞0}\end{array}\right.$，解得：a＜0
函数g（x）=$\frac{f′（x）}{x}$=x+$\frac{a}{x}$-2a．
g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
x∈（1，+∞），$\frac{a}{{x}^{2}}＜0$，
1-$\frac{a}{{x}^{2}}＞0$，∴g′（x）＞0，
g（x）在在（1，+∞）上为增函数．
故选：D．

点评 本题考查函数与导数的应用，函数的单调性与函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．